Pochopení definice, tvarů a typů hranolů

Hranol je pevný tvar se dvěma odpovídajícími plochými základnami, které jsou vzájemně rovnoběžné. Takže, co přesně je hranol? Je to trojrozměrná postava s plochými tvářemi po stranách. Mnoho lidí se ptá: 'Co je to hranol?', protože je to běžný tvar, který se vyskytuje u předmětů každodenní potřeby, jako jsou krabice, stany a tužky. Hranoly hrají klíčovou roli jak v geometrii, tak v optice. V optice může hranol rozdělit bílé světlo na spektrum barev, což nám pomáhá pochopit, jak se světlo rozděluje do různých odstínů. Studenti často zkoumají, co je hranol, pomocí příkladů ze skutečného života, aby viděli, jak se tyto tvary objevují kolem nich.

Pomocí fyzických modelů a digitálních nástrojů mohou studenti lépe pochopit, co je hranol a jak funguje. Díky těmto zdrojům je učení o tvarech a způsobu, jakým se světlo chová, poutavější a snáze pochopitelné.

Klíčové věci

• Hranol je 3D tvar. Má dvě odpovídající základny. Základny jsou vzájemně rovnoběžné. Ploché plochy spojují základny.

• Existuje mnoho druhů hranolů. Jejich jména pocházejí z jejich základních tvarů. Některé příklady jsou trojúhelníkové, obdélníkové a šestihranné hranoly.

• Hranoly nejsou jako pyramidy nebo válce. Hranoly mají dvě základny a ploché strany. Nemají křivky ani bod nahoře.

• Hranoly můžete vidět v každodenním životě. Příkladem jsou knihy, krabice, tužky a tyčinky.

• Pro hranoly použijte tyto vzorce: Plocha povrchu = 2 × Plocha základny + Obvod základny × Výška. Objem = základní plocha × výška. Ty vám pomohou najít rozměry hranolu.

Rychlá odpověď:

Co je hranol?

Hranol je obecně trojrozměrný tvar se dvěma rovnoběžnými a identickými základnami spojenými plochými plochami. Hranoly mohou být klasifikovány podle tvaru jejich základny, jako jsou trojúhelníkové, obdélníkové, pětiúhelníkové nebo šestihranné hranoly. V optice je však optický hranol průhledný optický prvek s přesně leštěnými plochými plochami, které mohou lámat, odrážet, rozptylovat nebo přesměrovávat světlo. Optické hranoly jsou široce používány v zobrazovacích systémech, dalekohledech, laserových systémech, spektroskopii, strojovém vidění a přesných optických přístrojích.

Optický efekt lze kvantitativně vidět v korunovém skle: OpenStax uvádí indexy lomu přibližně 1,512 při 660 nm a 1,530 při 410 nm . Protože se index lomu mění s vlnovou délkou, různé vlnové délky se lámou různým množstvím, což umožňuje hranolu rozptýlit bílé světlo do barev jednotlivých složek.

Definice hranolu

Hranol je pevné s dvě odpovídající základny . Tyto základny jsou mnohoúhelníky a jsou vzájemně rovnoběžné. Jedna základna je kopií druhé, právě přesunuta. Strany hranolu jsou rovnoběžníky, které spojují základny. Takto hranol popisuje většina matematických knih. Základem může být libovolný mnohoúhelník, například trojúhelník, obdélník nebo šestiúhelník. Název hranolu pochází z jeho základního tvaru. Například trojúhelníkový hranol má trojúhelníkové základny. Pětiúhelníkový hranol má pětiúhelníkové základny.

Hranoly mají vždy rovné plochy a rovné hrany. Pokud uříznete hranol rovnoběžně s jeho základnami, bude řez vypadat stejně jako základna. To platí bez ohledu na to, kde ho podél jeho délky střihnete. Hranoly jsou mnohostěny, takže mají pouze rovné plochy a žádné zakřivení.

V geometrii se lidé ptají 'co je hranol', aby se dozvěděli o těchto vlastnostech. V jiných předmětech může slovo hranol znamenat něco jiného. V optice je hranol čirý a vyrobený ze skla. Ohýbá a rozděluje světlo na barvy. V mineralogii je hranol krystal s podobnými tvary. Tyto různé významy ukazují, že hranoly jsou důležité v matematice i vědě.

Například tyč Toblerone má tvar trojúhelníkového hranolu. Krabice na cereálie je obdélníkový hranol. Tyto skutečné objekty nám pomáhají vidět, co je hranol.

Vlastnosti klíče

Hranoly mají speciální vlastnosti, které je odlišují od ostatních těles. Níže uvedená tabulka ukazuje tyto funkce:

Počet ploch, hran a rohů závisí na základním tvaru. Níže uvedené vzorce ukazují, jak se tato čísla mění:

Vzorce jsou:

• Plochy (F) = n + 2

• Hrany (E) = 3n

• Vrcholy (V) = 2n

Každý hranol má dvě kongruentní, paralelní základny spojené plochými bočními plochami. Jeho průřez zůstává konzistentní, když je řez rovnoběžný se základnami. Tyto geometrické vlastnosti činí hranoly užitečnými v matematice, technických výkresech, balení, architektuře a trojrozměrném modelování.

Hranol vs. jiná tělesa

Hranoly nejsou stejné jako ostatní tělesa. Níže uvedená tabulka porovnává hranoly s krychlemi, jehlany a válci:

Hranoly nemají vrchol, ale pyramidy ano. Všechny plochy na hranolu jsou ploché, ale válce mají zakřivené strany. Kostka je zvláštní druh pravoúhlého hranolu se všemi čtvercovými plochami.

V optika, hranoly se ohýbají, rozdělují a mění směr světla . Optické hranoly mají ploché lesklé strany pro pohyb světla. Tyto hranoly se používají v dalekohledech a periskopech. Pomáhají opravit obrázky a zmenšit zařízení. Ne každý geometrický hranol se používá v optice, ale oba mají ploché plochy a rovné hrany.

Hranoly jsou důležité v geometrii a optice. Pomáhají vědcům a inženýrům vyrábět nové nástroje, které využívají světlo.

Klasifikace hranolů

Pravidelné vs. Nepravidelné

Hranoly jsou seřazeny podle tvaru jejich podstav. Pravidelný hranol má základny, které jsou pravidelnými mnohoúhelníky. To znamená, že každá strana a úhel v základně jsou stejné. Například hranol se šestihrannými základnami, kde se všechny strany shodují, je pravidelný hranol. Tyto tvary vypadají rovnoměrně a vyváženě. Pravidelné hranoly se v matematice často objevují, protože jejich symetrie usnadňuje matematické problémy.

Nepravidelný hranol má základny, které jsou nepravidelnými mnohoúhelníky. Strany nebo úhly v základně nejsou všechny stejné. Například hranol s pětiúhelníkovou základnou, kde jsou některé strany delší, je nepravidelný hranol. Tyto hranoly vypadají nerovnoměrně nebo nakloněné. Stavitelé někdy používají nepravidelné hranoly pro kreativní návrhy nebo pro přizpůsobení lichých prostorů. Oba typy mají ploché plochy a rovné hrany, ale jejich základní tvary je odlišují.

Tip: Chcete-li zkontrolovat, zda je hranol pravidelný nebo nepravidelný, podívejte se na základnu. Pokud jsou všechny strany a úhly stejné, jedná se o pravidelný hranol.

Pravá vs. Šikmá

Hranoly se také liší tím, jak se jejich strany setkávají se základnami. Pravý hranol má strany, které se setkávají se základnami pod úhlem 90 stupňů. Tím jsou strany obdélníky a hranol stojí rovně. Většina krabic a knih jsou pravé hranoly. Šikmý hranol má strany, které se nestýkají se základnami v pravém úhlu. Strany se stanou rovnoběžníky a hranol vypadá šikmo.

Zde jsou některé hlavní rozdíly mezi pravým a šikmým hranolem:

• Pravé hranoly mají strany, které jsou obdélníkové, protože se setkávají se základnou rovně.

• Šikmé hranoly mají šikmé strany, takže strany jsou rovnoběžníky.

• Oba typy mají stejný počet ploch, hran a rohů.

• Objemový vzorec pro oba je základní plocha krát výška, kde výška se měří přímo od základny.

Pravé hranoly jsou v každodenním životě k vidění častěji, ale šikmé hranoly se používají v umění a designu. Oba typy používají stejná pravidla pro počítání obličejů a zjišťování objemu.

Prismové vzorce

Plocha povrchu

Plocha povrchu hranolu měří celkovou plochu všech jeho ploch. Každý hranol má dvě základny a několik bočních ploch. Vzorec pro povrchovou plochu hranolu závisí na tvaru jeho základny. Obecný vzorec však funguje pro všechny hranoly:

Celková plocha = 2 × (Základní plocha) + (Obvod základny × Výška)

Tento vzorec znamená, že přidáte plochu obou základen a plochu všech bočních ploch. Boční plochy společně tvoří boční plochu. Níže uvedená tabulka ukazuje, jak se vzorec mění pro různé typy hranolů:

Základní plocha a obvod se mění s tvarem základny. Před použitím vzorce by studenti měli vždy zkontrolovat základ.

Objem

Objem hranolu říká, kolik prostoru zaplňuje. Vzorec pro objem hranolu je jednoduchý:

Objem = (plocha základny) × (výška hranolu)

Tento vzorec funguje pro jakýkoli hranol. Pokud má například čtvercový hranol základní stranu 8 cm a výšku 10 cm, plocha základny je 64 cm². Vynásobte výškou a dostanete a objem 640 cm³ . Vzorec používá základní plochu jako průřez a prodlužuje ji přes výšku.

Příklad výpočtů

1. Příklad obdélníkového hranolu

   • V = 11 × 5 × 3 = 165 cm³

   • SA = 2[(11 x 5) + (11 x 3) + (3 x 5)] = 2[55 + 33 + 15] = 2[103] = 206 cm²

   • Dáno: délka = 11 cm, šířka = 5 cm, výška = 3 cm

   • Povrch hranolu:

   • Objem hranolu:

2. Další obdélníkový hranol

   • V = 8 x 4 x 2 = 64 cm³

   • SA = 2[(8 x 4) + (8 x 2) + (2 x 4)] = 2[32 + 16 + 8] = 2[56] = 112 cm²

   • Dáno: délka = 8 cm, šířka = 4 cm, výška = 2 cm

   • Povrch hranolu:

   • Objem hranolu:

Studenti mohou použít tyto vzorce pro jakýkoli hranol nalezením základní plochy a výšky. U každé odpovědi si vždy zapište jednotky.

Hranoly jsou speciální 3D tvary se dvěma odpovídajícími základnami. Tyto základny jsou rovnoběžné a všechny plochy jsou ploché. Tvar základny dává každému hranolu jeho jméno. Hranoly se liší od kuželů a koulí, které mají zakřivené strany. Pyramidy se setkávají v jednom bodě, ale hranoly nikoli. Hranoly mají vždy ploché strany a žádné zakřivené hrany. Hranoly najdete ve věcech, jako jsou knihy a krabice. Učení o hranolech pomáhá studentům vidět, jak se geometrie používá v reálném životě a ve vědě.

Typy hranolů

Hranoly  dostávají svá jména podle tvaru svých základen. Každý hranol má dvě odpovídající základny, které jsou mnohoúhelníky a jsou rovnoběžné. Všechny plochy jsou ploché a základny mají vždy stejnou velikost a tvar. V hodinách geometrie se studenti obvykle učí o nejběžnějších typech. Patří mezi ně hranoly trojúhelníkové, čtvercové, obdélníkové, pětiboké a šestiboké.

Geometrické hranoly

Geometrické hranoly mají dvě paralelní, shodné základny spojené plochými bočními plochami. Jejich názvy jsou obvykle určeny tvarem základny.

Trojúhelníkový hranol

Trojúhelníkový hranol má dvě základny ve tvaru trojúhelníků. Má také tři strany, které jsou obdélníky. Tento hranol má pět ploch, devět hran a šest rohů. Průřez je vždy trojúhelník, bez ohledu na to, kde ho řežete. Trojúhelníkové hranoly se nacházejí ve střešních rámech, dalekohledech a tyčinkách Toblerone. Inženýři používají tento tvar ke zpevnění budov a ke změně pohybu světla v nástrojích.

Trojúhelníkové hranoly pomáhají studentům vidět 3D tvary a jsou často v geometrických sadách.

Obdélníkový hranol

Obdélníkový hranol má dvě obdélníkové základny a čtyři obdélníkové strany. Lidé mu také říkají kvádr. Má šest ploch, dvanáct hran a osm rohů. Průřez je vždy obdélník. Všude vidíte pravoúhlé hranoly. Místnosti, cihly, knihy a krabice všechny používají tento tvar. Stavitelé používají pravoúhlé hranoly k určení prostoru a materiálů. Výrobci krabic je používají, protože se snadno skládají a přepravují. Nábytek jako stoly, skříně a police jsou často obdélníkové hranoly.

Obdélníkové hranoly pomáhají ukládat věci a usnadňují stavitelům a projektantům matematiku.

Hranol čtvercový

Čtvercový hranol má dvě čtvercové základny a čtyři obdélníkové strany. Pokud jsou všechny plochy čtvercové, je to krychle. V kostkách, kostkách ledu a některých blocích můžete vidět čtvercové hranoly. Čtvercové hranoly pomáhají studentům rozlišovat mezi krychlemi a jinými pravoúhlými hranoly.

Pětiúhelníkový hranol

Pětiboký hranol má dvě pětiboké základny spojené pěti bočními plochami. Má sedm ploch, patnáct hran a deset vrcholů. Pokud jsou základny pravidelné pětiúhelníky se stejnými stranami a úhly, je klasifikován jako pravidelný pětiúhelníkový hranol. Pokud je základní mnohoúhelník nepravidelný, jedná se o nepravidelný pětiboký hranol.

Šestihranný hranol

Šestihranný hranol má dvě šestihranné základny spojené šesti bočními plochami. Má osm ploch, osmnáct hran a dvanáct vrcholů. Tvary šestiúhelníkových hranolů lze nalézt v některých krystalických strukturách a v každodenních předmětech, jako jsou neořezané tužky.

Optické hranoly

Na rozdíl od geometrických hranolů jsou optické hranoly přesné optické komponenty určené k řízení směru, orientace nebo spektrálních vlastností světla.

V závislosti na jejich geometrii a optické funkci mohou být hranoly použity k:

• Přesměrujte paprsek přes definovaný úhel

• Odrazte světlo pomocí úplného vnitřního odrazu

• Otočit nebo převrátit obrázek

• Rozdělte bílé světlo na různé vlnové délky

• Rozdělte jeden dopadající paprsek do více optických drah

• Složením optické dráhy zmenšete velikost systému

• Správná orientace obrazu v zobrazovacích přístrojích

Mezi běžné konstrukce optických hranolů patří pravoúhlé hranoly, rovnostranné hranoly, střešní hranoly, holubičkové hranoly, penta hranoly, Porro hranoly a hranoly pro dělení paprsků.

Jiné hranoly

Některé hranoly mají méně obvyklé tvary základny. Lichoběžníkové hranoly mají základny ve tvaru lichoběžníku a nazývají se nepravidelné hranoly. Pravidelné hranoly mají základny se všemi stranami a úhly stejnými. Nepravidelné hranoly mají základny se stranami nebo úhly, které nejsou stejné. Hranoly mohou být také pravé nebo šikmé, podle toho, jak se strany spojují se základnami.

Hranoly mají mnoho tvarů, ale všechny mají ploché plochy a dvě odpovídající, paralelní základny.

Optické hranoly se běžně používají v:

• Zobrazovací systémy

• Interferometry

• Laserové systémy

• Optické měření

• Strojové vidění

• Vědecké vybavení

Při specifikaci hranolu pro dělení paprsku je třeba vzít v úvahu požadovaný dělicí poměr, rozsah vlnových délek, polarizační chování a výkon povlaku.

Běžné materiály používané pro optické hranoly

Materiál optického hranolu ovlivňuje jeho propustnost, index lomu, tepelnou stabilitu a celkový optický výkon. Mezi běžné materiály patří:

N-BK7 a optické korunkové sklo

N-BK7 a podobná korunková skla jsou široce používána pro viditelné a blízké infračervené aplikace, protože nabízejí dobrý přenos, stabilní optické vlastnosti a nákladově efektivní výkon.

Typické aplikace: zobrazovací systémy, měřicí zařízení, laserové přístroje a optické hranoly pro všeobecné použití.

Tavený oxid křemičitý

Tavený oxid křemičitý poskytuje dobrou propustnost UV záření, nízkou tepelnou roztažnost a silnou tepelnou stabilitu.

Typické aplikace: UV optické systémy, laserové systémy, vědecké přístroje a vysoce přesné zobrazování.

V klasické studii Journal of the Optical Society of America byl index lomu taveného oxidu křemičitého v optické kvalitě měřen při 60 vlnových délek od 0,21 do 3,71 μm při 20 °C , což poskytuje široce používaný experimentální základ pro jeho disperzní chování.

Fluorid vápenatý

Fluorid vápenatý (CaF₂)   je často vybírán pro aplikace vyžadující širší UV a infračervený přenos. Ve studii National Bureau of Standards publikované v Applied Optics byla měření indexu lomu hranolů CaF₂ provedena v 46 kalibrovaných vlnových délek od 0,23 μm v ultrafialové do 9,7 μm v infračervené oblasti při 24 °C . Tento široký experimentální rozsah podporuje použití CaF2 v oblastech vlnových délek přesahujících rozsah mnoha konvenčních optických skel.

Typické aplikace: UV/IR optické systémy, spektroskopie a specializované vědecké přístroje.

Proč na výběru materiálu záleží

Různé materiály hranolů poskytují různé úrovně prostupu, rozptylu, tepelné stability a odolnosti vůči okolnímu prostředí. Konečná volba by proto měla odpovídat provozní vlnové délce, požadavkům na optický výkon a pracovnímu prostředí celého optického systému.

Jak vybrat správný optický hranol

Výběr správného optického hranolu závisí na jeho funkci, provozní vlnové délce, optické přesnosti a požadavcích na integraci. Mezi klíčové faktory patří:

• Optická funkce: Určete, zda je hranol potřebný pro odchylku paprsku, disperzi, rotaci obrazu, orientaci obrazu nebo rozdělení paprsku.

• Materiál a vlnová délka: Vyberte materiály jako N-BK7 nebo tavený oxid křemičitý podle požadovaného rozsahu propustnosti UV, viditelného nebo infračerveného záření.

• Optická přesnost: Zvažte úhlovou toleranci, rovinnost povrchu a kvalitu povrchu, zejména u zobrazovacích, laserových a měřicích systémů.

• Povlak: Vyberte si antireflexní, reflexní povlaky nebo povlaky dělící paprsek podle požadavků na vlnovou délku a optický výkon.

• Rozměry a integrace: Potvrďte velikost hranolu, čistou aperturu, velikost paprsku a montážní prostor, abyste zajistili kompatibilitu s kompletním optickým systémem.

Pro zakázkové aplikace by měla být geometrie hranolu, materiál, tolerance a povlaky specifikovány společně, nikoli nezávisle vybírány.

Klíčové výrobní úvahy pro zakázkové optické hranoly

Výkon vlastního optického hranolu závisí na přesném ovládání jeho geometrie a optických povrchů. Mezi důležité výrobní faktory patří:

• Výběr materiálu: Přizpůsobte optický materiál požadavkům na vlnovou délku, přenos a prostředí.

• Přesné leštění: Kontrolujte rovinnost povrchu a kvalitu povrchu pro snížení rozptylu a zkreslení čela vlny.

• Úhlová přesnost: Udržujte přesné úhly hranolu pro spolehlivou odchylku paprsku, vyrovnání a zobrazovací výkon.

• Optický nátěr: Aplikujte vhodné AR, reflexní nebo paprsky dělící nátěry podle aplikace.

• Kontrola: Před dodáním ověřte rozměry, úhly hranolu, kvalitu povrchu, čistou aperturu a výkon povlaku.ISO 10110-5:2026 specifikuje, jak se u optických prvků uvádějí tolerance tvaru povrchu, a označuje nanometry jako preferovanou standardní jednotku pro vyjádření odchylky tvaru povrchu. ISO 10110-7:2017 pokrývá nedokonalosti povrchu, včetně lokalizovaných defektů, okrajových čipů a dlouhých škrábanců na hotových optických součástech.

U přesných zobrazovacích, laserových, spektroskopických a měřicích systémů mohou tyto výrobní detaily přímo ovlivnit konečný optický výkon.

FAQ

Jaký je rozdíl mezi hranolem a pyramidou?

Hranol má dvě shodné, rovnoběžné základny a ploché strany. Pyramida má jednu základnu a všechny strany se setkávají v jediném bodě zvaném vrchol. Hranoly  nemají vrchol.

Lze válec nazvat hranolem?

Válec nelze nazvat hranolem. Hranoly mají ploché polygonové základny a ploché strany. Válce mají zakřivené povrchy a kruhové základny. Zjistěte více o válcích na Wikipedie.

Kde lidé používají hranoly v reálném životě?

Lidé používají hranoly v budovách, obalech a vědeckých nástrojích. Inženýři je používají ve stavebnictví. Vědci používají skleněné hranoly k dělení světla v experimentech. Hranoly se objevují i ​​v umění a designu.

Jak zjistíte objem libovolného hranolu?

Objem zjistíte vynásobením plochy podstavy výškou hranolu.
Vzorec:
Objem = Základní plocha × Výška

Jsou všechny kostky hranoly?

Všechny kostky jsou hranoly. Krychle je speciální typ pravoúhlého hranolu, kde jsou všechny strany stejné. Každá plocha krychle je čtverec.