הבנת הגדרות, צורות וסוגים של פריזמות

פריזמה היא צורה מוצקה עם שני בסיסים שטוחים תואמים המקבילים זה לזה. אז מהי פריזמה בדיוק? זו דמות תלת מימדית עם פנים שטוחות בצדדים. אנשים רבים שואלים, 'מהי פריזמה?' מכיוון שזו צורה נפוצה שנמצאת בחפצים יומיומיים כמו קופסאות, אוהלים ועפרונות. לפריזמות יש תפקיד מפתח הן בגיאומטריה והן באופטיקה. באופטיקה, פריזמה יכולה לפצל אור לבן לספקטרום של צבעים, לעזור לנו להבין כיצד האור נפרד לגוונים שונים. תלמידים חוקרים לעתים קרובות מהי פריזמה על ידי שימוש בדוגמאות מהחיים האמיתיים כדי לראות כיצד הצורות הללו מופיעות סביבם. הטבלה שלהלן מדגישה סוגים נפוצים של פריזמות שאתה פוגש מדי יום:

סוג פריזמה	דוגמאות מהחיים
פריזמה מלבנית	ספרים, קופסאות אחסון, קופסאות דגנים
פריזמה משולשת	אוהלים, חטיפי שוקולד של טובלרון
פריזמה משושה	עפרונות לא מחודדים, חלות דבש
קוּבִּיָה	קוביות, קוביות קרח

באמצעות מודלים פיזיים וכלים דיגיטליים, התלמידים יכולים להבין טוב יותר מהי פריזמה וכיצד היא פועלת. משאבים אלה הופכים את הלמידה על צורות והאופן שבו האור מתנהג למרתקת יותר וקלה יותר להבנה.

טייק אווי מפתח

• פריזמה היא צורה תלת מימדית. יש לו שני בסיסים תואמים. הבסיסים מקבילים זה לזה. פנים שטוחות מחברות את הבסיסים.

• ישנם סוגים רבים של פריזמות. שמותיהם באים מצורות הבסיס שלהם. כמה דוגמאות הן מנסרות משולשות, מלבניות ומשושים.

• פריזמות אינן כמו פירמידות או גלילים. לפריזמות יש שני בסיסים ודפנות שטוחות. אין להם עקומות או נקודה בחלק העליון.

• אתה יכול לראות פריזמות בחיי היומיום. ספרים, קופסאות, עפרונות וחטיפי ממתקים הם דוגמאות.

• השתמש בנוסחאות הבאות למנסרות: שטח פנים = 2 × שטח בסיס + היקף בסיס × גובה. נפח = שטח בסיס × גובה. אלה עוזרים לך למצוא מדידות פריזמה.

מהי פריזמה

הגדרת פריזמה

פריזמה היא מוצק עם שני בסיסים תואמים . בסיסים אלו הם מצולעים ומקבילים זה לזה. בסיס אחד הוא עותק של השני, פשוט עבר. דפנות המנסרה הן מקביליות המחברים את הבסיסים. כך מתארים רוב ספרי המתמטיקה פריזמה. הבסיסים יכולים להיות כל מצולע, כמו משולש, מלבן או משושה. שמה של המנסרה מגיע מצורת הבסיס שלה. לדוגמה, למנסרה משולשת יש בסיסים משולשים. למנסרה מחומשת יש בסיסים מחומשים.

לפריזמות יש תמיד פנים שטוחות וקצוות ישרים. אם חותכים פריזמה במקביל לבסיסיה, הפרוסה נראית זהה לבסיס. זה נכון לא משנה היכן חותכים אותו לאורכו. פריזמות הן רב-הדרונים, ולכן יש להן רק משטחים שטוחים וללא עיקולים.

בגיאומטריה, אנשים שואלים 'מהי פריזמה' כדי ללמוד על התכונות הללו. במקצועות אחרים, המילה פריזמה יכולה לומר משהו אחר. באופטיקה, פריזמה שקופה ועשויה מזכוכית. הוא מכופף ומפצל אור לצבעים. במינרלוגיה, פריזמה היא גביש בעל צורות דומות. המשמעויות השונות הללו מראות שהפריזמות חשובות הן במתמטיקה והן במדע.

לדוגמה, סרגל טובלרון מעוצב כמו פריזמה משולשת. קופסת דגנים היא פריזמה מלבנית. החפצים האמיתיים האלה עוזרים לנו לראות מהי פריזמה.

מאפייני מפתח

לפריזמות יש תכונות מיוחדות המבדילות אותן ממוצקים אחרים. הטבלה שלהלן מציגה את התכונות הבאות:

תכונה	תיאור
מסתיים (בסיסים)	אותם פנים מצולעים מקבילים
פרצופים	הכל שטוח, ללא עיקולים
חתך רוחב	אותה צורה לאורך כל המנסרה
פנים לרוחב	מקביליות
השוואה לצילינדרים	לצלינדרים יש צדדים מעוקלים, למנסרות אין

מספר הפנים, הקצוות והפינות תלוי בצורת הבסיס. הנוסחאות שלהלן מראות כיצד המספרים הללו משתנים:

מצולע בסיס	מספר פנים (F)	מספר קצוות (E)	מספר קודקודים (V)
משולש (n=3)	5 (3 + 2)	9 (3 * 3)	6 (2 * 3)
מחומש (n=5)	7 (5 + 2)	15 (3*5)	10 (2*5)
משושה (n=6)	8 (6 + 2)	18 (3*6)	12 (2*6)

הנוסחאות הן:

• פנים (F) = n + 2

• קצוות (E) = 3n

• קודקודים (V) = 2n

לכל פריזמה יש שני בסיסים וצלעות מקבילות. החתך נשאר זהה לאורך כל הדרך. תכונות אלו הופכות את המנסרות לחזקות ויציבות. בונים משתמשים בפריזמות בבנייה כי הן מפזרות משקל היטב. בדיקות מראות שמנסרות מודפסות בתלת מימד הן חזקות כמו לבנים. זה עושה אותם טובים לבנייה ועיצוב.

פריזמה לעומת מוצקים אחרים

פריזמות אינן זהות למוצקים אחרים. הטבלה שלהלן משווה מנסרות לקוביות, פירמידות וצילינדרים:

של איור מוצק	צורת בסיס	פניהם	קודקוד	סוג פני השטח	מאפיינים חזותיים
פּרִיזמָה	שני מצולעים מקבילים תואמים	פנים מלבניות מחברות בין בסיסים	אַף לֹא אֶחָד	פנים מצולעים שטוחים	שני בסיסים תואמים המחוברים על ידי מלבנים; הצורה תלויה בבסיס
קוּבִּיָה	שישה ריבועים שווים	6 פרצופים מרובעים	אַף לֹא אֶחָד	פנים מצולעים שטוחים	פריזמה מיוחדת עם כל הפנים כריבועים שווים
פִּירָמִידָה	בסיס מצולע אחד	פנים משולשות נפגשים בקודקוד	קודקוד אחד	פנים מצולעים שטוחים	בסיס עם משולשים שנפגשים בנקודה אחת
צִילִינדֶר	שני מעגלים מקבילים	2 פרצופים עיגולים + צד אחד מעוקל	אַף לֹא אֶחָד	פנים מעוקלות ושטוחות	שני עיגולים המחוברים על ידי צד מעוקל; ללא קצוות או פינות

לפריזמות אין קודקוד, אבל לפירמידות יש. כל הפנים במנסרה שטוחות, אבל לצילינדרים יש צדדים מעוקלים. קובייה היא סוג מיוחד של פריזמה מלבנית עם כל הפנים המרובעות.

ב אופטיקה, מנסרות מתכופפות, מתפצלות ומשנות את כיוון האור . למנסרות אופטיות יש צדדים שטוחים ומבריקים כדי להזיז את האור. מנסרות אלו משמשות במשקפות ובפריסקופים. הם עוזרים לתקן תמונות ולהקטין את המכשירים. לא כל פריזמה גיאומטרית משמשת באופטיקה, אבל לשתיהן יש פנים שטוחות וקצוות ישרים.

פריזמות חשובות בגיאומטריה ובאופטיקה. הם עוזרים למדענים ומהנדסים לייצר כלים חדשים המשתמשים באור.

סוגי פריזמות

פריזמות  מקבלות את שמותיהן מצורת הבסיס שלהן. לכל פריזמה שני בסיסים תואמים שהם מצולעים ומקבילים. כל הפנים שטוחים, והבסיסים תמיד באותו גודל וצורה. בשיעורי גיאומטריה, התלמידים בדרך כלל לומדים על הסוגים הנפוצים ביותר. אלה כוללים מנסרות משולשות, מרובעות, מלבניות, מחומשות ומשושים.

פריזמה משולשת

למנסרה משולשת יש שני בסיסים בצורת משולשים. יש לו גם שלוש צלעות שהן מלבנים. לפריזמה הזו יש חמישה פנים, תשעה קצוות ושש פינות. החתך הוא תמיד משולש, לא משנה היכן חותכים אותו. מנסרות משולשות נמצאות במסגרות גג, משקפות וחטיפי ממתקים של טובלרון. מהנדסים משתמשים בצורה זו כדי להפוך מבנים לחזקים ולשנות את אופן תנועת האור בכלים.

מנסרות משולשות עוזרות לתלמידים לראות צורות תלת-ממדיות ולעיתים קרובות נמצאות בסטים של גיאומטריה.

פריזמה מלבנית

למנסרה מלבנית יש שני בסיסים מלבניים וארבע צלעות מלבניות. אנשים קוראים לזה גם קוביד. יש לו שישה פנים, שנים עשר קצוות ושמונה פינות. החתך הוא תמיד מלבן. אתה רואה מנסרות מלבניות בכל מקום. חדרים, לבנים, ספרים ותיבות כולם משתמשים בצורה זו. בונים משתמשים במנסרות מלבניות כדי להבין מרחב וחומרים. יצרני קופסאות משתמשים בהם מכיוון שקל לערום ולשלוח אותם. רהיטים כמו שולחנות, ארונות ומדפים הם לרוב פריזמות מלבניות.

מנסרות מלבניות עוזרות לאחסן דברים ולהקל על מתמטיקה עבור בונים ומעצבים.

פריזמה מרובעת

למנסרה מרובעת שני בסיסים מרובעים וארבע צלעות מלבניות. אם כל הפרצופים הם ריבועים, זו קובייה. אתה יכול לזהות מנסרות מרובעות בקוביות, קוביות קרח וכמה בלוקים. מנסרות מרובעות עוזרות לתלמידים להבחין בין קוביות למנסרות מלבניות אחרות.

פריזמה מחומשת

למנסרה מחומשת יש שני בסיסים בצורת מחומשים וחמש צלעות מלבניות. יש לו שבעה פנים, חמישה עשר קצוות ועשר פינות. מנסרות מחומשות משמשות במדע ובהנדסה. מדענים יצרו פריזמות מחומשות זעירות באמצעות DNA. הטבע מראה צורות מחומשות בפרחים, כוכבי ים וטיפות מים. הזוויות המיוחדות בפריזמה מחומשת מתחברות ליחס הזהב, שרואים באמנות ובטבע. אם הבסיסים אינם מחומשים רגילים, הפריזמה נקראת לא סדורה ונראית מורכבת יותר.

פריזמה משושה

למנסרה משושה יש שני בסיסים בצורת משושים ושש צלעות מלבניות. יש לו שמונה פנים, שמונה עשרה קצוות ושתים עשרה פינות. בכימיה, מנסרות משושה מרכיבות גבישי קרח וכמה מינרלים. מדענים משתמשים בהם כדי לבנות דברים זעירים עם DNA. עפרונות וחלות דבש לא מחודדים מעוצבים כמו מנסרות משושים.

פריזמות אחרות

לחלק מהמנסרות יש צורות בסיס פחות נפוצות. למנסרות טרפז יש בסיסים בצורת טרפז והן נקראות מנסרות לא סדירות. למנסרות רגילות יש בסיסים עם כל הצדדים והזוויות זהות. למנסרות לא סדירות יש בסיסים עם צלעות או זוויות שאינן שוות. פריזמות יכולות להיות גם נכונות או מלוכסנות, תלוי איך הצדדים מצטרפים לבסיסים.

סוג פריזמה	צורת בסיס	תיאור
פריזמה טרפזית	טרפז	שני בסיסים טרפזים, ארבעה מלבנים, שתי מקבילות
פריזמה רגילה	מצולע רגיל	כל הצלעות והזוויות שוות בבסיס
פריזמה לא סדירה	מצולע לא סדיר	צלעות או זוויות לא שוות בבסיס

פריזמות מגיעות בצורות רבות, אך לכולן יש פנים שטוחות ושני בסיסים מקבילים תואמים.

סיווג פריזמה

רגיל לעומת לא רגיל

פריזמות ממוינות לפי צורת הבסיס שלהן. למנסרה רגילה יש בסיסים שהם מצולעים רגילים. זה אומר שכל צד וזווית בבסיס זהים. לדוגמה, פריזמה עם בסיסי משושה שבה כל הצדדים תואמים היא פריזמה רגילה. צורות אלו נראות אחידות ומאוזנות. פריזמות רגילות מופיעות הרבה במתמטיקה מכיוון שהסימטריה שלהן מקלה על בעיות מתמטיקה.

למנסרה לא סדירה יש בסיסים שהם מצולעים לא סדירים. הצדדים או הזוויות בבסיס לא כולן זהות. לדוגמה, פריזמה עם בסיס מחומש שבו חלק מהצלעות ארוכות יותר היא פריזמה לא סדירה. מנסרות אלה נראות לא אחידות או מוטות. בונים משתמשים לפעמים בפריזמות לא סדירות לעיצובים יצירתיים או כדי להתאים לחללים מוזרים. לשני הסוגים יש פנים שטוחות וקצוות ישרים, אך צורות הבסיס שלהם הופכות אותם לשונים.

טיפ: כדי לבדוק אם פריזמה סדירה או לא סדירה, הסתכלו על הבסיס. אם כל הצלעות והזוויות שוות, זו פריזמה רגילה.

ימין מול אלכסון

פריזמות שונות גם לפי איך הצדדים שלהן פוגשות את הבסיסים. למנסרה ישרה יש צלעות הפוגשות את הבסיסים בזווית של 90 מעלות. זה הופך את הצדדים למלבנים והמנסרה מזדקפת. רוב הקופסאות והספרים הם פריזמות נכונות. לפריזמה אלכסונית יש צלעות שאינן פוגשות את הבסיסים בזווית ישרה. הצדדים הופכים למקבילים, והמנסרה נראית מלוכסנת.

להלן כמה הבדלים עיקריים בין מנסרות ימניות ואלכסוניות:

• למנסרות הימניות יש צלעות שהן מלבנים כי הן פוגשות את הבסיס ישר.

• למנסרות אלכסוניות יש צדדים מלוכסנים, ולכן הצדדים הם מקבילים.

• לשני הסוגים יש אותו מספר של פנים, קצוות ופינות.

• נוסחת הנפח עבור שניהם היא שטח בסיס כפול גובה, כאשר הגובה נמדד ישר כלפי מעלה מהבסיס.

סוג פריזמה	זווית בין בסיס לצדדים	צורת הצדדים	מראה חזותי
פריזמה נכונה	90 מעלות	מלבנים	יָשָׁר
פריזמה אלכסונית	לא 90 מעלות	מקביליות	משופע או נשען

מנסרות נכונות נראות לעתים קרובות יותר בחיי היומיום, אך מנסרות אלכסוניות משמשות באמנות ועיצוב. שני הסוגים משתמשים באותם כללים לספירת פרצופים ומציאת נפח.

נוסחאות פריזמה

שטח פנים

שטח הפנים של פריזמה מודד את השטח הכולל של כל פניה. לכל פריזמה שני בסיסים ומספר פנים צדדיות. הנוסחה של שטח הפנים של פריזמה תלויה בצורת הבסיס שלה. עם זאת, נוסחה כללית פועלת עבור כל הפריזמות:

שטח פנים כולל = 2 × (שטח בסיס) + (היקפי בסיס × גובה)

נוסחה זו פירושה שאתה מוסיף את השטח של שני הבסיסים ואת השטח של כל פני הצד. פני הצד יוצרים יחד את שטח הפנים לרוחב. הטבלה שלהלן מראה כיצד הנוסחה משתנה עבור סוגים שונים של מנסרות:

סוג פריזמה	צורת בסיס נוסחת	שטח פני שטח רוחבי	נוסחת שטח פני שטח כולל
פריזמה משולשת	מְשּוּלָשׁ	(a + b + c) × H	(a + b + c) × H + b × h
פריזמה מלבנית	מַלבֵּן	2 × h × (l + w)	2 × (l × h + w × h + l × w)
פריזמה מרובעת	מְרוּבָּע	4 × s × h	4 × s × h + 2 × s⊃2;
פריזמה מחומשת	מְחוּמָשׁ	5 × b × h	5 × a × b + 5 × b × h
פריזמה משושה	מְשׁוּשֶׁה	6 × a × h	3√3 × a⊃2; + 6 × a × h

שטח הבסיס וההיקף משתנים עם צורת הבסיס. על התלמידים לבדוק תמיד את הבסיס לפני השימוש בנוסחה.

כֶּרֶך

נפח המנסרה אומר כמה חלל היא ממלאת. הנוסחה לנפח של פריזמה פשוטה:

נפח = (שטח בסיס) × (גובה פריזמה)

נוסחה זו פועלת עבור כל פריזמה. לדוגמה, אם למנסרה מרובעת יש צד בסיס של 8 ס'מ וגובה של 10 ס'מ, שטח הבסיס הוא 64 ס'מ⊃2;. הכפל בגובה כדי לקבל א נפח של 640 ס'מ⊃3; . הנוסחה משתמשת בשטח הבסיס כחתך ומרחיבה אותו לגובה.

חישובים לדוגמה

1. דוגמה מנסרה מלבנית

• V = 11 × 5 × 3 = 165 ס'מ⊃3;

• SA = 2[(11 × 5) + (11 × 3) + (3 × 5)] = 2[55 + 33 + 15] = 2[103] = 206 ס'מ⊃2;

• נתון: אורך = 11 ס'מ, רוחב = 5 ס'מ, גובה = 3 ס'מ

• שטח פנים של פריזמה:

• נפח של פריזמה:

2. עוד פריזמה מלבנית

• V = 8 × 4 × 2 = 64 ס'מ⊃3;

• SA = 2[(8 × 4) + (8 × 2) + (2 × 4)] = 2[32 + 16 + 8] = 2[56] = 112 ס'מ⊃2;

• נתון: אורך = 8 ס'מ, רוחב = 4 ס'מ, גובה = 2 ס'מ

• שטח פנים של פריזמה:

• נפח של פריזמה:

תלמידים יכולים להשתמש בנוסחאות אלה עבור כל פריזמה על ידי מציאת שטח הבסיס והגובה. רשום תמיד את היחידות לכל תשובה.

פריזמות הן צורות תלת מימד מיוחדות עם שני בסיסים תואמים. הבסיסים הללו מקבילים וכל הפנים שטוחים. צורת הבסיס נותנת לכל פריזמה את שמה. פריזמות שונות מקונוסים וכדורים, שיש להם צדדים מעוקלים. פירמידות נפגשות בשלב מסוים, אבל מנסרות לא. לפריזמות יש תמיד צדדים שטוחים וללא קצוות מעוקלים. אתה יכול למצוא פריזמות בדברים כמו ספרים ותיבות. למידה על פריזמות עוזרת לתלמידים לראות כיצד נעשה שימוש בגיאומטריה בחיים האמיתיים ובמדע.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין פריזמה לפירמידה?

למנסרה שני בסיסים תואמים, מקבילים ודפנות שטוחות. לפירמידה יש ​​בסיס אחד וכל הצדדים נפגשים בנקודה אחת הנקראת קודקוד. לפריזמות  אין קודקוד.

האם אפשר לקרוא לצילינדר פריזמה?

גליל לא יכול להיקרא פריזמה. לפריזמות יש בסיסי מצולע שטוחים ודפנות שטוחות. לגלילים יש משטחים מעוקלים ובסיסים עגולים. למידע נוסף על צילינדרים על ויקיפדיה.

איפה אנשים משתמשים בפריזמות בחיים האמיתיים?

אנשים משתמשים בפריזמות בבניינים, באריזות ובכלים מדעיים. מהנדסים משתמשים בהם בבנייה. מדענים משתמשים במנסרות זכוכית כדי לפצל אור בניסויים. פריזמות מופיעות גם באמנות ובעיצוב.

איך מוצאים את הנפח של כל פריזמה?

כדי למצוא את הנפח, הכפל את שטח הבסיס בגובה המנסרה.
נוסחה:
נפח = שטח בסיס × גובה

האם כל הקוביות הן פריזמות?

כל הקוביות הן פריזמות. קובייה היא סוג מיוחד של פריזמה מלבנית שבה כל הצלעות שוות. כל פרצוף של קובייה הוא ריבוע.